【確率②】今日の一問【数的推理25】
- ポン太
- 2020年4月14日
みなさんこんばんは、ポン太です。
今日も確率について扱っていきます。
組み合わせの公式を絡ませた問題になりますが、少し頭が混乱するかも？しれません。
丁寧に説明しますのでぜひついてきて下さい！
では張り切って参りましょう！
※模範解答を載せているわけではありません、ご了承ください。また、この解説にかかる責任は負いかねますのでご承知おきください。
目次
１ 問題（地方上級2017・改）
A組の生徒11人、B組の生徒７人およびC組の生徒６人から、くじ引きで３人の生徒委員会を選ぶとき、A組、B組およびC組の生徒が１人ずつ選ばれる確率として、正しいのはどれか。
選択肢
１：1/4
２：21/92
３：49/184
４：65/276
５：331/12144
２ 解説の前に
この問題は（他の問題もそうですが）、問題をよく読んで解法が頭に浮かべばすぐに解ける問題です。
なので、問題文を「正しく」理解することが重要です。
今回の場合は、「A組から３人」ということもあれば、「A組２人、C組１人」ということもあれば、「それぞれの組から一人ずつ」ということもある訳です。
なので、
分子は「❛それぞれの組から一人ずつ’が何通りあるか」
分母は「❛３人を選ぶ（クラスは関係なく）選ぶ’のは全部で何通りあるか」
ということになります。
これらを前提に見ていきましょう。
３ ポン太はこう解く！
（１）分子はいくつ？それぞれの組から一人ずつ選ばれる！
この問題ではくじびきなので、立候補などで確率が偏ることはありません。
Ａ組11人から１人選ばれ、
Ｂ組７人から１人選ばれ、
Ｃ組６人から１人選ばれる
というパターンがいくつあるか考えれば良い訳です。
この場合結論から申し上げると、
11×７×６ となります。
分母との考えの違いは下で説明しますね。
（２）分母は？組み合わせの公式を使おう！
分母は、「Ａ組～C組計24人の中から３人を選ぶ」という「組み合わせ」のシンプルな問題です。
以前に組み合わせの記事をあげました。
これらの考えを使って、全体から３人を選び出す数を求めます。
₂₄C₃＝24×23×22/３×２×１=８×23×11 と分かりました！
ここで８×23×11として、掛け合わせてしまうと時間の無駄になってしまうので注意しましょう。(後々説明します。）
（３）そもそも、（１）と（２）の違いってなに？
（２）では組み合わせの公式つかってるけど、（１）ではクラスの人数掛け合わせただけ。なんで計算の方法が違うの？
と思われた方もいるでしょう。
「３人を選ぶ」だけですから、順不同ということは共に変わりません。
ではなぜ違いが出てくるのでしょう。
簡単に言えば、
（１）の分子の方は、人をボールに例えて申し訳ないですが、３つの箱から１つずつボールを取るようなイメージです。
11個の箱から１個のボール
７個の箱から１個のボール
６個の箱から１個のボール
この中から一つずつ取って３つ並べる場合、11×７×６の中で重複しようがないですよね？
A組の中で11通りの選び方、B組の中で７通りの選び方、C組の中で６通りの選び方。これらを樹形図的に考えていくと、掛け合わせるのが最適解ですよね。（最適解というかこれが解法ですよね）
対して、（２）の分母に関しては、24個のボールの中から３つを選ぶわけですが、これを繰り返した場合、同じ組み合わせが何回も重複するんですよね。
例えばボールに番号を付けたとして、同じ番号のものが
１２３
①⑤⑧
①⑧⑤
⑤⑧①
⑤①⑧
⑧①⑤
⑧⑤①
のような感じで、６通り重複するんですよね。
このボールの順番をすべて考えたのが24×23×22なので、それを３×２の６で割ろうというのが組み合わせの公式なんですね。
「重複するかしないか」
これが（１）と（２）の違いですね。
（拙い説明でスミマセン・・・）
（４）後は計算するだけ！
少し脱線しましたが、
分子は11×７×６、分母は８×23×11と分かりました。
そのため、
11×７×６/８×23×11＝７×３/４×23＝21/92
と計算できました！
ここで約分するため、上で掛け算まで計算しなかったんですね。
ここは時短のポイントです。
４ 答えは・・・
という訳で答えは、
２：21/92 でした！
５ まとめ
いかがでしたでしょうか。
順列や組み合わせ等を考えていると頭が混乱しそうですが、今回の「箱からボールを取り出す例え」のように、自分の中で統一したパターンが出来ていると間違えにくくなるかと思います。
ちなみに、選択肢５の分母が大きすぎてびっくりしたかと思いますが、これは24×23×22の答えです。笑
明日も確率の記事をアップできればと思っています。
今日は以上となります！
最後までお読みいただきありがとうございました！