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【仕事算①】今日の一問【数的推理16】

みなさんこんばんは、ポン太です。

 最近、フェルミ推定にハマってまして、色々な本とか、YouTubeとか見てるんですが、フェルミ推定ってご存じですか?

 例えば、日本にポストはいくつある?とか、直感ではわからなさそうな問題を知っている情報から推定していく。

 というようなものなんですが、それ自体が公務員試験やSPIに使えるかというと否です。が、頭を柔らかくするにはすごく良いツールだなと思いました。

 3、4年生の迫った方々は勉強を優先した方が良いかと思いますが、余裕のある大学1年、2年の方々は一度見てみると面白いかもしれません。


 さて、本題に入ります。

 フェルミ推定は全く関係ないんですが、今日は仕事算についてです。

 学校の授業などで触って以来、という方も少なくないと思いますが、この機会に是非思い出して頂ければと思います。

 模範解答ではなく、ちょっとした裏技的思考で解いてますのでぜひ最後までご覧ください。

※模範解答を載せているわけではありません、ご了承ください。また、この解説にかかる責任は負いかねますのでご承知おきください。

1 問題(地方上級2017・改)

 ある作業をAとBとの2人で共同して行うと、Aだけ行うより8日早く終了し、Bだけで行うより18日早く終了する。

 この作業をAだけで行う場合の作業日数として、正しいのはどれか。

 ただし、A・Bの1日当たりの作業量はそれぞれ一定とする。

 選択肢
 1:20
 2:22
 3:24
 4:26
 5:28

2 解説の前に

 問題を見ていかがでしたでしょうか。

 仕事算って、学校とかでも習った印象が強いうえ、分かりづらいイメージの強い方が多いのではないでしょうか。

 実際、公式を考えていくと、1/aと1/bを作って、その逆数を取ってみたり、二次方程式が出てきたりと面倒くさい計算が絡んできます。

 ただ、こと公務員試験においては、選択肢が与えられているので、仕事算の中でもこの手の問題(基礎の基礎)は一瞬で解けちゃいます。

 以下説明していきますね。

※改題ですが本題でも同じようなつくりでした。

3 ポン太はこう解く!

(1)本来の考え方は途中まで

仕事算では、まず、Aが行うとa日、Bが行うとb日かかる。というところから始まりますね。

 そして、一日当たりの仕事量を1/a、1/bと置く。と・・・

 ここまでは皆さん覚えがある方多いのではないでしょうか。

 で、模範解答の解説などをみると、ここから1/a+1/b=a+b/abの逆数を取って・・・等という計算が始まります。

仕事算でそこまで計算したくないよね・・・

 そうですね・・・さすがにここから二次方程式を作ってとなると、ちょっと過食気味になりそうです。

(2)ここは選択肢を使うが吉!

 ここで一旦立ち止まってみましょう。

Aの一日当たりの作業量・・・1/a
Bの一日当たりの作業量・・・1/b
AとBで一緒にやった時の一日当たりの作業量・・・1/a+1/b

 そして問題文ももう一度読んでみましょう。

ある作業をAとBとの2人で共同して行うと、Aだけ行うより8日早く終了し、Bだけで行うより18日早く終了する。

この文章、二人の共同作業ペースとA・Bそれぞれを比較しているようで、AとBの比較にもなってますよね 。

 このメガネが言ってる意味が分かったでしょうか・・・

 つまり、

2人でやるとAだけで行うより8日早く終わる。
2人でやるとBだけで行うより18日早く終わる。

 これを言い換えれば、単独で作業したらAがBより10日早く終わるということを表してますよね。

 ということは、選択肢が、次の五択に変身しますね。

1:A20 B30
2:A22 B32
3:A24 B34
4:A26 B36
5:A28 B38

(3)後は当てはめてみるだけ、だけどその前に・・・

 後は当てはめていけば、問題文と辻褄が合うものが出てくるはずです。

 ただ、仕事算の前提を紹介しておくと、

AとBで一緒にやった時の一日当たりの作業量・・・1/a+1/b

 この 1/a+1/bの答えって、

分子:1
分母:二人でやった時の作業日数

 にならないといけないんですね。

 そうしないと、二人で行った時の作業日数、Aだけの作業日数、Bだけの作業日数が全て分数や小数絡みになってしまうんですよね。

 (問題文にはそのような前提は書いてないですが、)ふつうは作業日数と言われたら整数ですよね。

 しかもですよ、Aが20日~28日で作業するわけですから、

 28(選択肢の最大値)-8(8日早い)=20で、全て行った時の作業日数は20日以下になるはずなんです。

 仮にすべて二人で行った作業日数をxとすると、1/a+1/b=1/xですよね。

 公約数とか、最小公倍数とかの関係上・・・ 必然的に答えが見えてきませんか?

(4)当てはめてみよう!

皆さん、ここまで見てきて怪しい選択肢はどれですか?

 (せーの)1の20日!ですね。

 1/a+1/b=1/xがどうなるか見てみましょう。

1/20+1/30=3/60+2/60
      =5/60
      =1/12

 Aだけの場合は20日、Bだけの場合は30日←選択肢と問題文から。
 二人で行った場合の作業日数が12日←計算結果 と分かりました。

ある作業をAとBとの2人で共同して行うと、Aだけ行うより8日早く終了し、Bだけで行うより18日早く終了する。

 この条件にピッタリ当てはまりますね!というわけで正解は1の20日でした!

 選択肢2~4は恐らく最小公倍数がかなり大きくなるでしょう・・・

4 答えは・・・

 というわけで

答えは 1:20 でした!

 恐らくは公式で方程式作ったりするよりも数倍速く解けるかなと思います。

5 まとめ

 いかがでしたでしょうか。

 公式が気になる!方程式教えてよ!と言う方は、スー過去などの問題集に載ってるかと思うのでぜひ参照してください。

 1/a+1/b=1/xのa、b、xが全て整数になるというところに気付くだけでこんなに速く解けるのか~という発見があればうれしいです。

 本日は以上となります!

最後までお読みいただきありがとうございました!

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