【数列】今日の一問【数的推理14】

　先日の東大王で、水上さんが卒業されましたね。

　ご覧になられた方いらっしゃいますか？

　個人的には結構好きな番組なので見ていたのですが、最後の伊沢さんとの勝負とか面白かったですね。

　今日は、そんな東大王やQさま！なんかでも既視感のあるような問題になっています。（なってないか）

　でも似たような感じになってますよ。

　前回の記事の記数法も絡んできます。以下見ていきましょう！

※模範解答を載せているわけではありません、ご了承ください。また、この解説にかかる責任は負いかねますのでご承知おきください。

１　問題（裁事2016・改）

　３進法で表された数字がある法則によって次のように並んでいる。

　空欄に入るものとして適当なものはどれか。

　101、102、111、121、202、221、□、1102、1201・・・

　選択肢
　１：222
　２：1001
　３：1011
　４：1021
　５：1101

２　解説の前に

　問題を見て、「とりあえず10進法に直すか、」と思われた方、

　正解です。

　この手の記数法が絡む問題は、10進法に直すことで解決の糸口が見つかることがほとんどかと思います。

　つまり、10進法の数字に法則がある訳ですね。

　記数法についてはこちらの記事を参照してください。

　ただ、10進法に直したところで、「ある法則」について気づけなければ、空欄は埋められません。

　今回は数列の中でも頻出（ポン太調べ）の「階差数列」がカギとなる問題です。

・階差数列とは？

階差数列（かいさすうれつ、英: progression of differences, sequence of differences）とは、ある数列に対し、隣り合う項の差をとることによってできる新たな数列のことである。数列の規則性が見えにくい場合でも、階差数列を考えることにより元の数列の素性が分かりやすくなる場合がある。

Wikipediaより引用

　定義を書き出すと漸化式などが出てきたり、オーバーワークになってしまいここでは説明しきれないのでやめときますが。例えばこんなんです。

Q.この数列の空欄に埋まる数字を求めよ。

１	２	３	４	５	６	７	８	９
10	14	23	39	64	100	149		294

　これだけ見ると、なんの法則かさっぱりですが、それぞれの差をとることによって・・・

項番	１	２	３	４	５	６	７	８	９
数字	10	14	23	39	64	100	149		294
差	―	４	９	16	25	36	49

　つまり、項番事の差を見るとその項番の二乗分プラスされていることが分かります。

　あまりに使い古された数列なので一発で分かる方もいらっしゃるかもしれませんが、与えられた数字そのものではなく、差を見ることで法則が浮かびあがるということですね。

　一応答えはこんな感じです。

項番	１	２	３	４	５	６	７	８	９
数字	10	14	23	39	64	100	149	213	294
差	―	４	９	16	25	36	49	64	81

　本題の数列ではなく、差をとることによって法則を浮かび上がらせるということですね。

　では、本題に入っていきましょう。

３　ポン太はこう解く！

（１）まずは10進法に直そう！

　まずは問題の３進法の数字を10進法に直していきます。

　直した表は以下の通りになります。

	１	２	３	４	５	６	７	８	９
３進法	101	102	111	121	202	221		1102	1201
10進法	10	11	13	16	20	25		38	46

　10進法への直し方は記数法の記事を参照いただければと思うのですが、一応3進法から10進法に直した計算も載せておきますね。

３進法から10進法への変換（３⁰＝１です）
101₍₃₎＝１×３²＋０×３¹＋１×３⁰＝９＋０＋１＝10
102₍₃₎＝１×３²＋０×３¹＋２×３⁰＝９＋０＋２＝11
111₍₃₎＝１×３²＋１×３¹＋１×３⁰＝９＋３＋１＝13
121₍₃₎＝１×３²＋２×３¹＋１×３⁰＝９＋６＋１＝16
202₍₃₎＝２×３²＋０×３¹＋２×３⁰＝18＋０＋２＝20
221₍₃₎＝２×３²＋２×３¹＋１×３⁰＝18＋６＋１＝25
1102₍₃₎＝１×３³＋１×３²＋０×３¹＋２×３⁰＝27＋９＋０＋２＝38
1201₍₃₎＝１×３³＋２×３²＋０×３¹＋１×３⁰＝27＋18＋０＋１＝46

（２）10進法で規則性を見つける！

　上の10進法で直した時点でピンと来てほしいんですが、この10進法の数字、このような階差数列になってますよね。

	１	２	３	４	５	６	７	８	９
10進法	10	11	13	16	20	25		38	46
前項との差	－	＋１	＋２	＋３	＋４	＋５

　つまり、順番に前との差が開いていくことになるので、必然的にこう↓なりますよね。

	１	２	３	４	５	６	７	８	９
10進法	10	11	13	16	20	25	31	38	46
前項との差	－	＋１	＋２	＋３	＋４	＋５	＋６	＋７	＋８

空欄は10進法で31と分かりました！

（３）最後は10進法から３進法に直すだけ！

　10進法から３進法に直せば、選択肢と照らし合わせるだけです。

　というわけで、3進法では1011と分かりました！

４　答えは・・・

　という訳で答えは

３：1011　でした！

５　まとめ

　いかがでしたでしょうか。

　記数法と階差数列が絡んでるので一見難しそうですが、

　３進法から10進法に直して、法則が階差数列によって導き出せるということに気付けばすぐ解ける問題でしたね。

　今日は法則自体は比較的簡単なものでしたが、色々な法則があるので、色々な問題集を繰り返し解いて、閃きを養っていってくださいね。

　今日は以上となります！

【通過算】今日の一問【数的推理15】