【記数法】今日の一問【数的推理13】

　皆さん勉強場所って決めてますか？

　過去には勉強場所についても記事にしましたが、

　私は現役時代は大学の図書館、社会人になってから資格試験の勉強などをするときは市の図書館を主に使っています。

　最近まわりの図書館が改築ラッシュで、個室なども充実してて勉強するにはもってこいなんですよね。

　でもコロナ対策で休館中なんです。ほとんど、どこもかしこも。

　確かに、色々な人が新聞やら雑誌やら、本やらを触ったりって考えると一応閉鎖空間ですし、感染リスクは高いのかもしれないですね。

　図書館でkindleの本を読むのが好きなんですが（kindleなんかい！笑）、こればかりは仕方ないですね。

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　さて、本題に入ります。

　今日も数的推理ですが、場合の数から離れて記数法の問題をやっていきたいと思います。

　出題率はそう高くないですが、おろそかにもできないテーマです。

　以下見ていきましょう！

※模範解答を載せているわけではありません、ご了承ください。また、この解説にかかる責任は負いかねますのでご承知おきください。

１　問題（国税1996・改）

　７進法でabと表され、５進法でbaと表される数値を８進法で表すと、１の位の数は次のうちどれか。

　ただし、a,bはともに自然数である。

　選択肢
　１：０
　２：１
　３：２
　４：３
　５：４

２　解説の前に

・記数法とは

　記数法とは主に〇進法などと表記されるもののことで、皆さんは普段、主に10進法で生きていますよね。

　記数法について説明しようとするときに、10進法をもとに説明しても、10進法は頭で自動変換されるようなものなので、なかなか理解が進まないんですよね。

　ただ逆に５進法だとか、７進法などと言われると、「・・・？」と時間が止まってしまうかもしれません。

　ただ、10進法以外で皆さんが自然と使っているもの、それは60進法ですね。

　60進法は１分１時間で使ってますよね。

　１時間＝60分ですが、例えば1時00分のことを０時60分とは言わないですよね。

　60進法では、60に達したときに、次の数字（時間・分）になるので、60の数字は使わないわけですね。

これを５進法に当てはめると、０→１→２→３→４→10→11・・・

　となるわけです。

当然ですが10進法なら、０→１→２→３→４→５→６・・・９→10ですね

　ざっくり、記数法はこんなものと理解して、解説を読んで頂ければと思います。

３　ポン太はこう解く！

（１）人間の本能？10進法に直そう！

　この手の問題は、７進法と５進法、さらに８進法とにらめっこしていても、感覚的にどうこうなるものではありません。

　一旦10進法を使って、そこから８進法に直していきましょう。

　では５進法・７進法のものを10進法で表すにはどうすればよいでしょうか。

５進法では０→１→２→３→４→10→11→・・・
10進法では０→１→２→３→４→５→６→・・・

　ここから考えてみましょう。

　意外と簡単かと思いますが、

「５進法の10」を10進法に直すには、５×１＋０＝５
「５進法の11」を10進法に直すには、５×１＋１＝６

　というように、十の位は５を掛けて、一の位はそのままの数字で足し算することが分かります。

　これは７進法でも同じですね。

（２）誤解なきように・・・公式紹介！

　一応、「十の位は５を掛けて、一の位はそのままの数字を」と表現しましたが、厳密には正確ではありません。

　ってなりますよね。

　では、例えば５進法で4321と表される数字を10進法で表すとしたらどうなるでしょうか。

　この求め方は、

４×５³＋３×５²＋２×５¹＋５×５⁰＝590　となります。

　一の位は５⁰＝１、十の位は５¹＝５・・・というように、位が大きくになるにつれて乗の数が増えていくわけですね。

　そのため、 「十の位は５を掛けて、一の位はそのままの数字を」 というのは、公式を当てはめた結果、そうなったということですね。

　ここまで読んできていただいた方はなんとなく分からんでもないな、くらいの感覚があるのではないかと思います。

（３）サクサク解いていきましょう！

　では、７進法のab、５進法のbaを一度10進法（ｘ）で表してみましょう。

　７進法は、７×ａ＋ｂ＝ｘ・・・①
　５進法は、５×ｂ＋ａ＝ｘ・・・②

　となりますね。

　ちなみに５進法（と７進法）なのでａとｂは０～４の数字であることがわかりますし、十の位は０で表さないので、結果、ａとｂは１～４のどれか。ということになりますね。

※学校で自然数は０を含まないと習った方もいると思うんですが、諸説あるらしいのでここでは触れないでおきます。苦笑

　解説を進めますね。

　①②より、

　７ａ＋ｂ＝５ｂ＋ａ
　６ａ＝４ｂ
　ａ＝2/3ｂ　であることがわかる。

　ａが自然数であることから、ｂは3の倍数でなければならないが、「１≦ａ，ｂ≦４」となることから、ｂ＝３、ａ＝２であることが分かる。

（４）10進法に変換するのを忘れないように！

　と早とちりしないよう注意しましょう。笑

　あくまで、７進法で23、５進法で32と分かっただけなので、①or②に代入して、10進法での数字に変換することを忘れないようにしましょう。

　どちらでも答えは一緒ですが、10進法では17と分かりますね。

（５）後は10進法→８進法で変換するだけ。

　変換の仕方は下の補足に書いてあるので、参考にしてください。

　数字が小さいのですぐわかると思うのですが、一応、17を８で割ると２余り１となるので、８進法では21と分かります。

　つまり問題の答えは２：1と分かりました！

・補足:10進法から〇進法に変換するときの方法

　基本的には10進法で表された数字を〇進法の〇で割っていくという作業になります。

　数字が小さければそんなに面倒くさくないのですが、割る回数が大きくなると、面倒なことになります。笑

　例えば、13を３進法で表すと、111となります。

　ちなみに、38を３進法で表すと1102となります。

余り０も０で表示するのを忘れないでくださいね。

つまり、こういうこともあります。（10進法の20を３進法に変換）

４　答えは・・・

　補足が入りましたが、

答えは２：１とわかりました！（選択肢２番の「１」ということですね。笑）

５　まとめ

　いかがでしたでしょうか。

　実はこの記数法のテーマ自体はあまり出題頻度の高いものではありません。

　ただ、暗号問題や数列の問題など、他のテーマとの親和性が高く、サブテーマとして出題されることが少なくないことも考えると、決して無視することはできないテーマかと思います。

　また、この記数法を絡めた別テーマの問題を扱いたいと思います。

　基本として、〇進法から◎進法に変換するにも、10進法を経由するため、その変換方法は覚えておきましょう。

　今日はここまでとなります。

【数列】今日の一問【数的推理14】