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【場合の数③】今日の一問【数的推理12】

みなさんこんばんは、ポン太です。
今日は「場合の数」三日連続企画最終日です。

 ①②を読んでからこの記事を読んでいただくと定着度が違うと思います。

 簡単にまとめると、何かを分ける際に、

 ①は仲間外れがいないパターン
 ②は仲間外れがいても良いパターン

 この2つでしたね。

 今日は、それに加えてプラスの条件がついた問題をやっていきたいと思います。

 ①②と読んで頂いた皆さんなら、即答できるかもしれません。

 以下見ていきましょう!

※模範解答を載せているわけではありません、ご了承ください。また、この解説にかかる責任は負いかねますのでご承知おきください。

1 問題(国家Ⅱ種2002・改)

 ある八百屋には、キャベツ、白菜、レタスの3種類の葉物野菜がたくさん並べられている。

 この中から15個の野菜を買う時、何通りの買い方があるか。

 ただし、キャベツと白菜は2個以上、レタスは1個以上買うものとする。

 選択肢
 1:60
 2:62
 3:64
 4:66
 5:68

2 解説の前に

 昨日までの問題は、1つのもの(飴や餅)を3人で分ける。という問題で、仲間外れ(0個の人)の有無が問題の違いでしたが、

 今日の問題は、3種類のものから選ぶ。

 さらには、1つずつ何個以上選ぶ。という条件付きです。

昨日までも全然違う問題に見える・・・

 ただ、そうではないんです!

 ①②を見て頂いた方はピンと来るかもしれないですが、本質は全く同じ「組み合わせ」なんです。

 以下解説してきますね。

3 ポン太はこう解く!

(1)問題をどのように見るか

 今回は、3種類キャベツ〇白菜●レタス◎としてみましょうか。

キャベツと白菜は2個以上、レタスは1個以上の条件がありました。

 となると、仕切り棒||で3つを分けるとしたら

 〇〇|●●|◎|

 これは確定してますが、ここから果たして何が見えてくるでしょうか。

 何も見えて来なくないですか?笑

 何も見えて来ないというより、この後どうしろと?という感じですよね。

 分かるのは「残り10個野菜を買う」ことくらいでしょうか。

(2)問題文に引っ張られすぎないようにしよう

問題文はよく読みましょう。

問題文と選択肢はよく読みましょう。

 と何回も言ってきたポン太ですが、問題文をよむことで、その「字面自体に引っ張られすぎるのもよくありません。

 というのも、今回は葉物野菜3種類で〇●◎と分けてしまったところでドツボにハマりつつあります。

 恐らく、「葉物野菜3種類、キャベツは2個以上etc・・・」というところで、

 「3種類それぞれに個数条件が付いてるから、3種類記号分けなきゃ!」

 と上記のように考えた方もいると思いますが、それは違う方向に進んでしまっています。

(3)押してもだめなら引いてみよう

 問題文を「よく読むこと」は「正しく解釈する」ことでもあります。

 確かに、上のような考え方も正しい解釈と言えばそうなのですが、問題を解くうえでは必ずしも正しい解釈とはいえないですね。

この問題のゴールは「何通りの買い方があるか」ですからね。

 そう考えると、葉物野菜3種類を最低いくつ買うかが重要ではなくて、残された10個をどのように選び出すかが重要です。

 そのように考えると、確実に買うキャベツ2個、白菜2個、レタス1個「以外」をどのように買うかが重要になってくるんですね。

(4)「3種類の葉物野菜」に分ける必要はない

 ここまで来るとなんとなく分かってきた方もいらっしゃるでしょうか。

 本質的には昨日の10個の餅を分けるのとほとんど変わらないんです。

どういうこっちゃ・・・

 では言い換えると、昨日・一昨日とA・B・Cを3人で分けるときに記号を〇△□みたいに分けましたか?

 左からA・B・Cと決め打ちしてましたよね?

 なので今回も〇●◎などと分けず右からキャベツ、白菜、レタス(順番は決めてしまえばどういう風でもいいんです)と決め打ちで並べ替えをすれば良いわけです!

 その際に気を付けるべきが、
 ①の記事のように0個になる野菜があってはいけないのか
 ②の記事のように0個になる野菜があってもいいのか

 ですよね。

(5)基本的には・・・

 先ほどから申し上げているとおり、確実に買う5個を抜いた10個で考えるとすれば、10個の〇を仕切り棒を2本使って分ける。

 その場合に 確実に買うものは除外しているので 、〇が0個になっても良いわけですよね。

 すると、昨日の②の記事が参考になるわけです。

確実に買うものを除いた10この野菜の買い方(一例)
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫
〇|〇〇〇〇|〇〇〇〇〇・・・キャベツ1個、白菜4個、レタス5個
〇〇|〇〇〇〇|〇〇〇〇・・・キャベツ2個、白菜4個、レタス4個
〇〇〇|〇〇〇|〇〇〇〇・・・キャベツ3個、白菜3個、レタス4個
│〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇│・・・キャベツ0個、白菜10個、レタス0個
〇〇〇||〇〇〇〇〇〇〇・・・キャベツ3個、白菜0個、レタス7個

つまり、昨日と同じ₁₂C₂という考え方になるわけですね!

・補足(超蛇足)

 確実に買うものをキャベツと白菜1個、レタス0個と考えて①の記事のように考えることもできます。

 つまり、

 キャベツと白菜各1個以外の中から買うものを選ぶ。ただし、それぞれ1個以上選ぶ。と読み替えるわけですね。

 となると、①の記事の考え方でいっても、13個の〇の間→12個の中に仕切り棒をいれる二つの場所の組み合わせを考える。つまり₁₂C₂と言う考え方もできますが、さすがにそんな読み替えする方はいないと思います・・・

 ①と②の記事のやり方比較ということで一応補足させていただきました。

4 答えは・・・

 というわけで答えは、₁₂C₂=66

 4:66通り でした!

5 まとめ

 いかがでしたでしょうか。

 3日連続で場合の数の組み合わせについてやってきましたが、これらについては読んで頂いてお分かりいただけたかと思います。

 覚えてしまえば得点源、曖昧なままだと時間だけ掛かって間違えるという可能性があるので、ぜひ3問セットで覚えて頂けるとある種試験の武器にもなるかなと思います。

武器とは言わなくても、安心材料が一つ増えるだけでメンタル面含めて全然違いますよね。

 計算は全然難しくないので、どこを見るべきか、問題文の本質はなにかさえ見極められれば問題ないと思います。

 組み合わせの公式、問題は確率のテーマでも頻出なので、ぜひマスターしてくださいね!

最後までお読みいただきありがとうございました!

次の記事はこちら!

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