【場合の数①】今日の一問【数的推理10】
- ポン太
- 2020年3月14日
みなさんこんにちは、ポン太です。
「今日の一問」の数的推理も10記事まで来ることができました！
皆さんに読んで頂いてるおかげでモチベーションが維持できています！ありがとうございます！
次の目標はでっかく100記事で！
とにかくこつこつとやっていきますね。
数的に比べて判断推理が遅れているのは、（個人的に）改題と解説の図を書くのにどうしても時間が掛かるんです・・・
ポン太が個人的に苦手という説もありますが・・・笑
まあ判断推理もこつこつとやっていきますね。
そんな10回目の今日は記念として（？）「場合の数」をやりたいと思います。
しかも３回連続で！笑
「場合の数」と「確率」は数的推理における天王山といっても過言ではないと思います。
ここまでは１テーマを１記事書いたらとりあえず次のテーマ。それで一巡しようって感じでやってましたが、ここは少し手厚くやっていきたいと思います。
とはいえ、他のテーマもおろそかにできないので、テーマを何回も巡回するなかで、ここを手厚くしていこうかなと。そういう感じです。
場合の数も色々と種類がありますが、まずはとっつきやすいこのテーマからです。
以下、問題を見ていきましょう。
※模範解答を載せているわけではありません、ご了承ください。また、この解説にかかる責任は負いかねますのでご承知おきください。
目次
１ 問題（特別区2005・改）
10個の飴玉をA・B・Cの３人で分けるとき、その分け方は何通りあるか。
ただし３人とも１個以上受け取るものとする。
選択肢
１：24
２：27
３：32
４：36
５：45
２ 解説の前に
この類の問題、見たことある方多いのではないでしょうか。
そう、「組み合わせ」の問題です。「Cの方」ですね。笑
「順列」いわゆる「Pの方」との違いはわかりますか？
名前の通りなんですが、
「順列」は順番を考慮する。
「組み合わせ」は順番を考慮しない。
イメージとしては、ざっくりこんな感じで良いかと思います。
ただ、その言葉通りに考えてしまうと問題に応用できなくなってしまう場合があるので注意です。
組み合わせの公式はnCrみたいにアルファベットで表すことが多いのですが、分かりづらいですよね・・・
例えば₈C₃（８つの中から３つを順不同で選ぶ）であれば
₈C₃＝８×７×６／３×２×１＝56
分子：左側の数字から下に右側の数字分（今回は８から下に３つ８、７、６）を掛け合わせる
分母：右側の数字（今回で言えば３）から１までを掛け合わせる
こんな感じですね。
これは公式嫌いの方も覚えること必須です！
３ ポン太はこう解く！王道パターン！
（１）試験にでたら超ラッキー？パターンを覚えてしまおう！
この問題は、もし試験に出てきたらラッキー！というくらいに、パターンを覚えてしまうべき問題です。
まず、飴ちゃんを10個用意します。
〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇←「どうも飴ちゃんです」
そして、３人に分けるので、仕分けの棒を二本用意します。
｜｜←「どうも棒ちゃんです。」
二つを合わせます。
〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇｜｜
これで棒をこの丸の間に入れて分けていくわけですね。
例えば、左からAの取り分、Bの取り分、Cの取り分とすると
〇〇｜〇〇〇〇〇〇｜〇〇（Ａ２個、Ｂ６個、Ｃ２個）
〇〇〇｜〇〇｜〇〇〇〇〇（Ａ３個、Ｂ２個、Ｃ５個）
〇｜〇〇｜〇〇〇〇〇〇〇 （Ａ１個、Ｂ２個、Ｃ７個）
一例としてですが、こんな感じですよね。
逆にこの問題の場合、一人ひとつはもらうこと確定なので、
｜〇〇〇〇〇〇｜〇〇〇〇（Ａ０個、Ｂ６個、Ｃ４個）
〇〇〇｜｜〇〇〇〇〇〇〇 （Ａ３個、Ｂ０個、Ｃ７個）
みたいな、棒が端に来たり、隣合わせになるパターンはあり得ません。
ここから何が見えてくるでしょうか・・・
（２）見るべきは飴の個数ではない！？間違えないようにしよう！
解法をご存じの方、感の良い方は既にお気づきかもしれませんが、この問題は、
「10個の飴の間に２本の棒を入れて３つ（３人)に分ける。」
ただそれだけの問題です。
つまり「棒を入れる可能性がある場所の数」と「棒の本数」でどれだけ組み合わせが出来るかを考えればいいわけです。
そして先ほど記載したとおり、組み合わせの公式で解いていくのですが、どのような算式になるでしょうか。
・・・
₁₀Ｃ₂と考えた方！それはよくある間違いです！
「10個の飴の間に２本の棒を入れて３つ（３人）に分ける。」
というところまではたどり着いても上記のような誤りをすることはよくあります。
実は、今回正しい組み合わせの算式は₉Ｃ₂となります！
（３）なぜ９？どこから出てきた？
「10個の飴の間に２本の棒を入れて３つ（３人）に分ける。」
ここまでたどり着くと、10、２、３という数字に目が行きがちですが、「２本」の棒を入れるのは
「10個の飴の間」
ですよね。
飴①飴②飴③飴④飴⑤飴⑥飴⑦飴⑧飴⑨飴←「飴ちゃん10個ありまーす！」
飴が10個ある場合、棒を入れるのはこの①～⑨の間ですよね。
この９個の中から２つ、棒を入れる場所を選ぶわけです。（分けられればＯＫのため、順番は考慮しない→順列ではなく組み合わせの公式を使うわけですね。）
そのため、算式は₉Ｃ₂となり、９×８/２×１＝36となるわけです！
₁₀Ｃ₂と考えてしまったりすると、その計算の答えが選択肢に入ってることもあるので、そこだけ注意が必要です。（計算自体は簡単ですよね。）
４ 答えは・・・
というわけで、答えは
４：36通り でした！
５ まとめ
いかがでしたでしょうか。
今回は、ゴリ押し解法が得意なポン太でも、ゴリ押しで考えるより組み合わせの公式を使った方が速いと断言できます。
ただし、₁₀Ｃ₂とか₁₀Ｃ₃とか数字の選択を誤ってしまうと、答えが間違ってしまうので注意です！
とはいえ、「Ａが１個の場合、Ａが２個の場合・・・」なんてやってる時間はないので、これについては公式を覚えて、数字の選択を誤らないようにするしかないと思います。
さて、今日はみんなが幸せになる（みんなに飴ちゃんが行き渡る）問題でした。
次も場合分けの問題をやりたいと思いますが、次の問題は誰もが幸せになるとは限りません・・意味深
次の数的推理の記事をお楽しみに！笑
最後までお読みいただきありがとうございました！