【数の計算・整数問題】今日の一問【数的推理９】

※模範解答を載せているわけではありません、ご了承ください。また、この解説にかかる責任は負いかねますのでご承知おきください。

１　問題（国家総合職2014・改）

　異なる４つの正の整数がある。

　これらのうちから２つを選んで和と差（大きい方の数から小さい方の数を減じて得た数）を算出して、その全てを大きい順に並べたところ次のようになった。

　151、134、110、107、83、68、66、44、41、27、24、17

　このとき４つの整数の和はいくらか。

　選択肢
　１：178
　２：192
　３：195
　４：217
　５：234

２　解説の前に

　一見めんどくさそうなこの問題、意外と簡単です。（あっさり）

　「国家総合職」ってだけで敬遠しちゃいそうですが、大丈夫です。

　この短い問題文の中にもヒントがたくさん隠れてます。むしろ国家総合だからかもしれません。

　短い文章の中から出題者の色々なメッセージを読み取れよ、と。（圧倒的個人的見解）

　問題文からヒントを読み取るのは国家総合だろうが、国家一般だろうが地方だろうがどこでも変わりません。恐れずに行きましょう！

　以下解説を進めていきますね。

３　ポン太はこう解く！

　話がややこしくなるので、大きい順にA・B・C・Dとします。

　和と差で挙げられたのは、順不同で

A＋B、A＋C、A＋D、B＋C、B＋D、C＋D
A－B、A－C、A－D、B－C、B－D、C－D

　の12通りです。

（１）当たり前のことを当たり前に捉える

　ポン太がおかしくなったわけではありません。

　ここで言いたいのは、和と差の最大値151についてです。

　ここはA+Bしかあり得ないですよね。

　また、２番目の134もA＋Cしかあり得ません。A＋DやB＋C、B＋D、C＋Dより小さいはずないですからね。

　厳密にいえば「一番大きいＡ」－「一番小さいD」の可能性もなくはないですが、数字の大きさからするとあり得ないですよね。

　だって、ＡとＢで合わせて151なのに、ＡとＤの差が134だとしたら、Ａが134より大きいってことになって12個の数字と辻褄合わなくなりますよね。

　ここを押さえればもうすぐ答えが出ちゃいます。

（２）当たり前のことを当たり前に捉える（２度目）

　さて、A＋Bは151と分かった訳ですが、あの12の数字のなかにA－Bもある訳ですよね。

　その数字の特徴、分かりますか？

　それは・・・

A－B＝奇数　ということです！

　なるほど！という方もいれば、なぜ？という方もいらっしゃるでしょう。

　ちょっと回りくどい説明をします。分かる方は飛ばしてください。

　Aを分解するとB＋（A－B）〈＝「B」に「AとBの差」を足す〉ということになります。これは当然ですね。

　A＋Bに代入すると、

A＋B＝B＋（A－B）＋B
　　 ＝２B＋（A－B）
　　 ＝151

　となります。

　ここまでくるとなんとなくお分かりいただけたでしょうか。

　151は奇数、２Bは偶数なので、（A－B）は奇数になるということです。

　なんで２Bは偶数なのって？

　うざいですね。（まだキャラが定まってません）

　問題文を見てみましょう。

異なる４つの「正の整数」がある。

　もうこれで２Bが奇数にはならないことがお分かりいただけましたよね。Bは分数や小数ではないんです。

　つまり、A－Bは奇数と言うことです。結局はここに落ち着きます(笑)

（３）ということは・・・

　12ある数字のうち奇数は、

　107、83、41、27、17の５つです。

　上位６つの中に入る107と83は流石にA-Bとしてはなさそうなので除外します。

　となると後は41、27、17になります。

　そうなると、当てはめていけばAとB（加えてCも）は必然的に計算で出てきます。

　後は辻褄が合うものをどれか、計算していきましょう。

・A－B＝41の場合

　A：96
　B：55　と分かります。

　また、A＋C=134から、C＝38と分かりますが、

　B55＋C38＝「93」が12通りの中にないので、これは誤りですね。

・A－B＝27の場合

　A：89
　B：62　と分かります。

　また、A＋C＝134から、C＝45となります。

　A89－C45＝44
　B62＋C45＝107　も12通りのなかにあるので、これは正解に近そうです。

　いったん保留で次を見てみましょう。

・A－B＝17の場合

　A：84
　B：67と分かります。

　また、A＋C＝134と分かります。

　しかし、B67－C50＝17となり、A－B＝17と被ってしまうので、これも誤りですね。（12通りの数字があるので、足し引きの答えは全て異なる）

（４）後は当てはめて確かめ算！

　確かめ算、懐かしいですね。笑

　以下、12通りの数字からDも求めて辻褄が合うか確かめていきます。

151＝A89＋B62
134＝A89＋C45
110＝？
107＝B62＋C45

　ここまで来ると、110はA＋Dであろうと予測が立ちますね。

　110＝A89＋D21

83＝B62＋D21
68＝A89－D21
66＝C45＋D21
44＝A89－C45
41＝B62－D21
27＝A89－B62
24＝C45－D21
17＝B62－C45

　すべて埋まりました！

　そのため、

A＝89
B＝62
C＝45
D＝21　合計217とわかりました！

・補足１

　一覧を見て頂いたとおり、上位６つの数字が全て「和の数字」になるとは限りません。

　それでもA－Bが上位６位には入らないだろうと予想したのは、A－BよりA－C、A－Dの方が当然大きくなるからです。

　それに加えて、普通に考えれば足し算の和の方が上位に来る可能性が高いので、ほぼ100％の自信をもって上位6つではなく下位６つの中にくるだろうと予想したのです。

・補足２

　問題によっては、選択肢から答えを導いたり、消したりすることが出来ます。

　例えば今回はA＋B＝151なので、選択肢の数字から151を引いたもの（つまりC＋D）が12通りの中になければ、その選択肢は除外できるということになります。

　今回の問題では通じない手法だったので補足にさせていただきました。

４　答えは・・・

というわけで、

答えは　４：217　でした！

途中回りくどいこと言いましたが実時間そんなにかからないと思います。

５　まとめ

　いかがでしたでしょうか。

　余計なことばっか書いてしまったかもしれませんが、問題は正味数分で解けるものだと思います。

　書きぶりは全く違うのですが、おそらく色々な模範解答も考え方の流れは同じような感じかと思います。

　ただ、やはり私の解法はなんだかゴリ押し感が漂いますね。

　それを良しとするかは、皆さん次第です・・・ゴクリ

　というわけで今日は整数問題でした！

【数的推理10】今日の一問【場合の数①】