【方程式・整数解】今日の一問【数的推理６】
- ポン太
- 2020年3月5日
みなさんこんばんは、ポン太です。
みなさん、泊まりの旅行に行かれる際はどんな所にとまりますか？
旅館、シティホテル、ビジネスホテル、カプセルホテルなど・・・色々あると思います。
個人的には、いろんな意味でお高いシティホテルに泊まって夜景でも見てみたいものですが、そんな経験はありません。涙
リッツカールトンとか、泊まってみたいですよねえ・・・。
結局基本的にはビジネスホテルですかね。
でもビジネスホテルとか、夜のサービスエリアとかってなんだかわくわくしますよね。
さて、雑談はこれくらいにして、今日はそんなホテルの定員や増築した際の状況が絡んだ数的推理の方程式の問題をやっていきたいと思います。
簡単そうで意外と難しいのが、この方程式の問題です。
では見ていきましょう！
※模範解答を載せているわけではありません、ご了承ください。また、この解説にかかる責任は負いかねますのでご承知おきください。
目次
１ 問題（地方上級2004・改）
あるホテルには、ABC３タイプの部屋が合計16部屋あり、
Aタイプの１部屋の定員は、Bタイプの１部屋の定員の２倍、Cタイプの１部屋の定員の３倍である。
今、Aタイプの部屋数はそのままにして増築し、Bタイプの部屋数を６倍、Cタイプの部屋数を９倍にしたところ、収容できる定員が以前の３倍となった。
このホテルにあるAタイプの部屋数として正しいのは次のうちどれか。
１：６部屋
２：７部屋
３：８部屋
４：９部屋
５：10部屋
２ 解説の前に
みなさん、問題の印象はいかがですか？
増築前16部屋なら数字も小さいし簡単に答えが出そうな気がしますが
そうでもないんですよねこれが・・・
結構めんどくさいんです。（ここでブラウザバックしないでください涙）
以下懇切丁寧に説明していきますので！笑
３ ポン太はこう解く！
今回は模範解答的というか、方程式を立てて解いていきます。まあ方程式がテーマの問題ですからね・・・。
裏技的な何かがないか考えましたが、正面からぶつかるしかありませんでした。（また何かあったら更新します）
以下解説していきます。
（１）ここは正攻法！ただ、何を変数に置き換えるか？
増築前のそれぞれの部屋数をa,b,c,とする。
→最後に求めなるのは部屋数なので、それをa,b,cに置き換えます。
問題文より、a,b,cそれぞれの定員を６人、３人、２人と仮定する。
→一番小さいCが分数や小数にならないよう調整します。
正直ここさえ間違えなければ難易度は低い問題です。
増築前の部屋数をa,b,cと置いたまでは良いけど、定員をどうするか？で悩む方も多いと思います。
ご覧のとおり、問題の文に沿うように６，３，２人と仮定しちゃってるんですが、「いいの？」と思われる方もいらっしゃるかと思います。
いいんです！
この問題では当初と増築後の「定員」を聞いてるわけではないですよね？
定員としてはa,b,cがお互いに何倍か、増築前と増築後に３倍になった。という記載があるだけで、具体的な数字を求める必要はないんです。
そのため、こっちで勝手に６、３、２人と仮定してしまえば、OKです。
極論、12、６、４人・・・などでもいいですが、計算めんどくさいですよね。どうせ割りなおすし。（突っ込んでくと最小公倍数、最大公約数が絡んできますが）
（多分腑に落ちないというか、そういう方もいらっしゃると思います。私も仕組みは頭で分かっているつもりですが、言葉で表すのがなかなか難しいので、また整理できれば別記事にしたいと思っています。）
とりあえず、次に参りましょう。
（２）方程式を作っていく
ａ＋ｂ＋ｃ＝16・・・①
→部屋数の合計が16ということですね。
３（６a＋３b＋２ｃ）＝６a＋６×３ｂ＋９×２ｃ・・・②
→左が「増築前の定員」を「３倍」した式、右が「増築後の定員」を求めた式です。
（３）方程式を解いていく
後は方程式を解いていきます。
②より、
18ａ＋９ｂ＋６ｃ＝６ａ＋18ｂ＋18ｃ
12ａ－９ｂ－12ｃ＝０
４ａ―３ｂ－４ｃ＝０・・・②´
Ｃを消すために、①×４＋②´より、
８ａ＋ｂ＝64
８ａ＝64－ｂ
ａ＝８－ｂ/８・・・③
ａｂｃは整数であるから、①よりｂは８の倍数であると認められる。
よってｂ＝８と認められる。（ｂは８の倍数だが、ｂ＝16以上となるとａ，ｃの部屋がなくなってしまうため。）
ｂ＝８を③②´に代入すると、ａ＝７、ｂ＝８、ｃ＝１となる。
４ 答えは・・・
ａ＝７と分かったため、
答えは２：７部屋でした。
方程式自体は難しくなかったかと思いますが、「それぞれの定員」をa,b,cも置き換えてしまうと多分ドツボです、注意しましょう。
５ まとめ
いかがでしたでしょうか。
途中の説明部分が腹に落ちない方がいらっしゃったかもしれません。
頭で理解したことを表現する力はもちろんですし、文章力自体を高めていく必要がありますね、頑張ります。
ただ、一朝一夕でどうにかなるものではないので、しっかりとブログを更新していく中で私自身成長できればと思います！
なんか反省ブログみたいになってしまいましたが、方程式は頻出問題なので、他の問題もまた更新していければと思います。
最後までお読みいただきありがとうございました！