【魔法陣】今日の一問【数的推理５】

　みなさんこんばんは、ポン太です。

　今日は、少し変わったテーマ「魔方陣」です。

　「覆面算」と同じテーマでくくられたりしますね。

　出題頻度は決して高くないですが、中には裏技みたいなのもあったりして解いていて面白いなと思うところがあります。

　読んで頂いてナンボのブログなので、たまにはこういう「解いて面白い」テーマもいいかな、ということで。

　果たしてどれだけの人が魔方陣について情報を必要としているかはわかりませんが・・・苦笑

　ちなみにモンストで遊ばれてる方、あれは、「魔法陣」で別物です。(笑)

※模範解答を載せているわけではありません、ご了承ください。また、この解説にかかる責任は負いかねますのでご承知おきください。

１　問題（特別区2015・改）

　次の図のように、１～16までのそれぞれ異なる整数をマス目に入れて、縦・横・対角線の数の和がいずれも等しくなるよう配置したとき、AとBのマス目の数の積はどれか。

		８
３	６		A
B	７		14
16			４

選択肢
１：10
２：20
３：30
４：60
５：90

２　解説の前に

　魔方陣とは、Wikipediaで以下のように紹介されています。

　魔方陣（まほうじん、英：Magic square）とは、n×n 個の正方形の方陣に数字を配置し、縦・横・対角線のいずれの列についても、その列の数字の合計が同じになるもののことである。 特に1から方陣のマスの総数 n² までの数字を1つずつ過不足なく使ったものを言う。

Wikipediaより引用

　恐らく、算数や数学の授業でみたことがあるのではないでしょうか。

　例えば今回の問題で言えば、１～４×４＝16の数字をすべて使い縦・横・対角線のいずれの列についても、その列の数字の合計が同じになるということですね。

　ただ、魔方陣のような区分（？）で、４×４に１～16ではない数字が入った問題などもあるので、注意してください。

３　ポン太はこう解く！ちょっとした裏技が使えることも？

（１）選択肢を見るだけで解答できることもある！？

　これは、使える場合が「かなり」限られるので、あくまで解法の１つとしてですが・・・

　まず、問題の表に載っている数字以外を一覧にします。

１
２
５
９
10
11
12
13
15

　つまり、AとBはこの中にある訳で、A及びBの候補一覧なわけです。（当然ですね）

　ということは、この中の２つの数字の積のうち、選択肢に該当するものが１つしかない場合、それが正解となってしまうわけです。

　とはいえ、数（積のパターン）も多いですし、なかなか消せるものではないですけどね。

　今回について言えば、１つも消せません。笑

１：10（１×10・２×５）
２：20（２×10）
３：30（２×15）
４：60（５×12）
５：90（９×10）

　すべて可能性が残されています。

　２や４といった小さい偶数や、５といった数字が残っているとこのような選択肢とは相性が悪い（？）ですね。

　逆に３や７などの素数が候補として多く残っていると、このような選択肢は消しやすいかもしれません。それも選択肢次第ですが。

　とはいえ、選択肢の数字に依るところが大きいですし、そこは出題者側としてもつぶしてくる可能性が高いので、あくまで参考程度に・・・

（２）正攻法は・・・

・覚えておこう！魔方陣の１列の和

　これは結論から申し上げると、

４×４の魔方陣の１列の和は34です。（魔方陣の数字が１～16の場合）

　なぜだかわかりますか？

　１～16までを足すと136となります。

　それが縦も横も（対角線も）1列ごとの和が同じになるんですから、

　136÷４＝34となりますよね。

　こういった、例えば「１～10までの和は55」だとか、「魔方陣の1列の和」等の決まった数字を覚えておくのは、本番で冷静に問題を解くことが出来るのでオススメです。

・正攻法は、方程式で解いていきます。

〇		８	〇
３	６	〇	A
B	７	〇	14
16			４

　この〇で示した４つの部分は何を示しているでしょうか。

　・・・

　これは、〇の部分を埋めると、１列（縦ないしは横・対角線も）が埋まるという場所を示しています。（１列に〇が１つ入る場合のみ、〇２つ以上で揃うものは除外）

　１列が埋まるというのは「最初から埋まっている数字」及び「AとB」を含めて考えます。

　〇が埋められる場所は４つありますが、３つもあれば解けてしまいます。

　例えば、このようにｘ・ｙ・ｚと置いてみましょう。

		８	ｘ
３	６	ｙ	A
B	７	ｚ	14
16			４

　これらを埋めることで４マスすべて埋まった縦横三つの列方程式にしていきます。

　順番に（縦）左から四列目（横）上から二行目、三行目です。

ｘ＋A＋14＋４＝34
ｙ＋A＋３＋６＝34
ｚ＋B＋７＋14＝34

　これをA＝ないしはB＝とすると・・・

A＝16－ｘ
A＝25－ｙ
B＝13－ｚ

　となりますね。

　ということは、上二つがAについて示した数式なので、

16－x＝25－ｙ
つまり
y－ｘ＝９

　となります。

　さらに、表の右上から左下の対角線を見てみてください。

ｘ＋ｙ＋７＋16＝34
つまり
ｘ＋ｙ＝11

　が成立します。

　時を戻そう。AとBの候補表を今一度確認してみます。

１
２
５
９
10
11
12
13
15

　この中で

　ｙ－ｘ＝９
　ｘ＋ｙ＝11

　を満たす組み合わせは・・・

　そう、ｙ＝10、ｘ＝１しかあり得ないですね。

・あとは芋づる式に！

　だいぶ細かく説明しましたが、そんなに面倒な計算でもないと思います。

　後は、ｘとｙをに計算結果を入れていくと、芋づる式に答えが出てきます。

		８	１
３	６	10	A
B	７	ｚ	14
16			４

　計算していただければわかるとおり、A＝15と分かりました。

　さてBはどうでしょうか。

　B＝13－ｚ

　でしたよね。これは、残り数字の候補の中では、

　B＝１、ｚ＝12　もしくは　B=2、ｚ＝11　の二通りしかありません。

　しかし、ｘ＝１と判明した今、B＝２しかあり得ません。

　つまりB＝２と分かります。

　ここでA＝15、B＝２、積は30と答えが出ましたね！

　左上にｘを置き換えたりだとか過程は色々とあると思いますので、これはあくまで１パターンということで。

（３）実は・・・

　実は、今回の問題に関して言えば、A＝15という答えがでた時点で解答することも出来ました。

１：10（１×10・２×５）
２：20（２×10）
３：30（２×15）
４：60（５×12）
５：90（９×10）

　この表覚えてますか？

　選択肢を、残り数字候補から絞れるか話をしたときに載せたものです。

　A＝15が出た時点で、15の倍数でない、10及び20はもちろん消せるんですが、

　15の倍数である60と90も消すことができます。

60の場合、15×４となる訳ですが、４は最初から表にある
90の場合、15×６となる訳ですが、６は最初から表にある

　つまり、A＝15が出た時点で答えは30しかあり得ないということになるんです！

　B＝13－zとか計算する手間が省けますよね！

　まあ、これはこの問題がたまたまそうなだけかもしれませんが、先に選択肢を絞れるか、選択肢の積のパターンを示したのはこう言った理由もありました。

　方程式だけにとらわれずいろんな見方をしておくと、もしかしたら本番で活きることがあるかもしれません。

　ただ、くれぐれも候補の抽出漏れにはご注意を・・・笑

（４）場合によっては・・・

　場合によってはですが、４×４の魔方陣の中心２×２の表は、対角線の和が17（34の半分）となる場合があります。あくまで場合よっては、です。

　実は今回もそれに当てはまって、

７＋ｙ＝17からｙ＝10
６＋ｚ＝７からｚ＝11

　といとも簡単に魔方陣が解けていくことがあるんです。

　ただ、必ずそうであるとは限らないので、他の数字がまんべんなく表に埋まるか検証したりする必要はあります。そのため、

超限定的裏技（当てはまる問題ならラッキー、くらい）

　みたいなものですかね。笑

４　答えは・・・

　いずれにせよ、答えはA＝15、B＝２で30

３：30

　となりました。

５　まとめ

　いかがでしたでしょうか。

　数独とはまた違いますが、同じようなパズル的要素があって好きな人もいるかと思います。

　私は結構好きなテーマですし、問題によりますが、解法が一つではないのが良いですよね。

　ただ、実務というか、公務員試験の受験対策としては、優先度は低いかなと思います。笑

　息抜き程度にでもなれば幸いです。

　最後までお読み頂き、ありがとうございました！

【数的推理６】今日の一問【方程式・整数解】