【濃度・食塩水】今日の一問【数的推理３】

　みなさん、こんばんは。ポン太です。

　今日はすごく暖かい気がします。春が近づいてるような。

　Ｊリーグが3月15日までの全試合延期を決めたみたいですね。

　半月強、試合の楽しみが無くなる寂しさはありますが、英断だと思います。

　これまで各方面のスケジュールや、スタジアムの調整等をして、先週遂に2020シーズン開幕、にも関わらず、「今週から延期します！」というのは、なかなか簡単なことではないと思います。

　前々から検討はしていたんでしょうが、開幕は無事迎えた訳ですから、昨日お話したとおり、コロナウイルスの「移行期」に入ったことで急転直下の展開だったことも考えられます。

　昨日の記事はこちら

　一日や数日単位で準備できることでもありませんし、これからの調整も大変だと思いますが、人命には代えられないですからね。

　一Ｊリーグファンとしてこの決断を支持して、安全が確保されてからの再開を、楽しみに待ちたいと思います。

　ただ、オリンピックもありますし、過密日程にならないように選手の体調も考慮してほしいなとは思いますね。

　すいません、本題から逸れた話を長々と話してしまいました。大のJリーグファンです。

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　さて、今日は数的推理の濃度（食塩水）についての問題です。

　なんか、他のテーマに比べて簡単そうなイメージありますよね。

　ところがどっこい、面倒くさいんですこれが。

　とりあえず今日の問題を見ていきましょう。

※模範解答を載せているわけではありません、ご了承ください。また、この解説にかかる責任は負いかねますのでご承知おきください。

１　問題（東京都2009・改）

　ビーカーに入った濃度40％の食塩水400ｇに対して、

　次のA～Dの手順で操作を行ったところ、濃度18％の食塩水400ｇができた。

A　ある重さの食塩水をビーカーから捨てる。
B　Aで捨てた食塩水と同じ重さの純水をビーカーに加え、よくかき混ぜる。
C　Aで捨てた食塩水の５倍の重さの食塩水をビーカーから捨てる。
D　Cで捨てた食塩水と同じ重さの純水をビーカーに加え、よくかき混ぜる。

　以上から判断して、Aで捨てた食塩水の重さとして正しいのはどれか。

１：30ｇ
２：32ｇ
３：40ｇ
４：48ｇ
５：50ｇ

２　解説の前に

　問題を見てどうでしたか？

　もしかしたら、「秒殺じゃん」と思った方もいるかもしれませんし、「どうやってどこから計算しよう・・・」と思った方もいると思います。

　答えにたどり着く道筋は一つではないので、そのような違いも生まれることがあると思います。

　私が説明する方法と、公式を使って当てはめていくような模範解答？と少なくとも二つあると思います。

　公式を使うと、この問題ものすごく面倒くさい、いや、「めんどくせっ」と言ったほうがしっくり来るほど、計算が煩雑です。

　また後で説明しますね。

３　ところで・・・

　皆さん、食塩水の定義（？）は分かりますよね？

　今回の400グラム、40％の食塩水となれば、食塩と水の内訳はどうなりますか？

　（40％なんてあり得る？という突っ込みは受け付けません笑）

答えは、食塩160ｇ、水240ｇです。

　時々、400ｇに40％の食塩を足したもの（400＋160＝560ｇ）が400ｇ・40％の食塩水と勘違いされる方がいるので、注意してください。

　また、問題に「よくかき混ぜる」との表記がありますが、食塩水の濃度の問題では、基本的に食塩が溶け切っている前提です。

　食塩が沈んでるとか、そんなことは考えず、40％の食塩水の一部を捨てたら40％の食塩水が残ると考えてください。

　当然分かってるよ！って方がほとんどかもしれませんが、ここを説明しておかないと、解説が一人歩きしてしまうので念のため説明させてもらいました。

４　ポン太はこう解く！今回は力技？

（１）問題を見て

　皆さん、この問題を見て、算式、公式を駆使して答えを導き出す道筋は見えましたか？

　私は一筋の光も見えなかったです。笑

　というのも、この問題、もしaやｘを当てはめるとしたら、おそらく

A　ある重さの食塩水をビーカーから捨てる

　の「ある重さ」になると思います。

　そこまではいいんです。

　ただ、そうした場合に、最初捨てた食塩の重さが0.4xなどと計算するのに対し、ガチガチの公式を当てはめたとすると、40％の0.4Xと18％の18が算式に共存してきて、わけわからん状況になります。計算も煩雑です。

　ん～すみません、語彙力の不足というか、うまく伝えられないんですこの苦悩葛藤を。笑

　公式から辿っていくと…食塩水の濃度の公式って、すべて同じ意味ですが、

濃度（％）＝食塩の重さ/食塩水の重さ×100
食塩の重さ＝食塩水の重さ×濃度（％）/100
食塩水の重さ＝食塩の重さ/濃度（％）×100

　なんですね。

　これを使って、問題を解いていったらこんな式になりました。

　いや～目が回る～といった感じですね。分数の分数って、見るだけで嫌になりません？冷静に考えればなんてことないかもしれないですけど。

　そして、この式は最終的に二次方程式に持って行って解けたんですが、これを試験本番で冷静にできるのか・・・という不安は拭えないですね。汗

（２）実力行使、当てはめの術

　この手の問題は、真面目に計算していくと、さっきのような計算を経て答えを導き出す必要が出てくる可能性があります。

　問題の数字によっては、簡単かもしれませんが・・・

　そのため、今回は選択肢という「最高のヒント」の量で、食塩水を捨てたらどうなるのか、当てはめて答えを出すことにします。

　ただし、１から順番にやっていては、５が答えだった場合埒があかないので、真ん中の

３：40ｇ

　から当てはめていきます。

（３）途中で計算を間違えるとドツボにハマる！間違えないように計算しよう

　では当てはめていきましょう。

手順A

手順Ｂ

　食塩は144ｇのままで、水は400ｇとなるので、144÷400＝0.36となり、

　手順Ｂを終えた時点で濃度36％の食塩水400ｇができたことになります。

手順C

手順D

　72ｇの食塩が入った食塩水400ｇが出来上がったので、72÷400＝0.18

　あれ、18％になりましたね・・・

　そう、これが答えです。一発で当たりました。ガハハ

　まあ、今回はたまたま真ん中に正解の選択肢があっただけですが、真ん中から計算したのは訳があります。

　正解は３：40ｇ

（４）捨てる量と反比例して濃度が変化する

以下、選択肢の１と５について同じように計算したものです。

　当たり前ですが、食塩水を多く捨てれば捨てるほど、捨てた食塩も多くなくなっていきます。

　そのため、最初に捨てた量が30ｇと比べて、50ｇの時の方が濃度が薄くなりますよね。

　そのため、（数量的に）真ん中の選択肢から当てはめて計算すれば、出てきた濃度との比較で少ない量を計算するか、多い量を計算するか当たりを付けて当てはめすることができるんです。

　多くても３通りで答えが見つけられるということですね。

　とはいえ面倒くさいですが。笑

５　答えは・・・

　改めてですが、答えは３の40ｇです。

　今回はたまたま、最初に当てはめた数字が当たってラッキーでしたが、上記のように考えれば焦らなくても自ずと答えは出てくるはずなので、焦らずに計算しましょう。

　ただし、当たりを付ける土台となる「最初に当てはめた量による計算」が間違っているとドツボにはまることがありますからね。

　そこは注意してください。

６　最後に

　いかがでしたでしょうか。

　「当てはめなら、言われなくてもやってるわ！」と言われそうですが、この問題に関しては、これが最善かなと思いました。

　ちなみに、上の模範解答？の方程式を解いていくと、

　Xの2乗－480X＋17,600＝０
　（X－40）（X-440）＝０

　となり、Xが440はあり得ないので、40。という答えが出ました。

　が、ここまで数字が大きい二次方程式だと本番では少しパニックになりそうです。苦笑

　という訳で、今回は食塩水の濃度の問題（といっても少し応用編？）についての解説でした。

　最後までお読みいただきありがとうございました！

【数的推理４】今日の一問【速さ・旅人算】